二进小波变换的多采样率滤波器组实现分析

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第2 0卷第4期 2 0 0 5年 7月

海军航空工程学院学报 J O UR N AL OF NA V A L AE R ON AU T I CA L E NGI NE E R I NG I NS T I T UT E

、, 0 1 . 2 O NO - 4 J u 1 . 2 0 0 5

二进小波变换的多采样率滤波器组实现分析 熊波，李国林，胡敏 (1 .海军航空工程学院研究生管理大队；2 .海军航空工程学院兵器科学与技术系，山东烟台，2 6 4 0 0 1 ) 摘要：在采用多采样率滤波器组实现二进小波变换的过程中，发现重构后的信号与原始信号

相比较，除了在原始信号之前引入由滤波器组的延迟产生的 0值点之外，还在原始信号之后引 入了 0值点。文中从时域对重构后的数据长度进行了分析，并对多采样率滤波器组的重构条件进行了深入分析。经过分析，原始信号之后引入的 0值点可以从滤波器组重构条件中的抗混叠条件来作出合理的解释；另外，理想滤波器组的延迟应该和滤波器组的阶次相等。 关键词：二进小波变换；滤波器组；重构条件 中图分类号：T N 9 1 l 文献标识码：A

O引言 小波分析过程的实质是在不同分辨率下提取信号的平滑逼近和细节部分。其中平滑逼近对应的是信号的低频部分，而细节部分对应的是信号的高频部分。 既能观察到信号的平滑部分，又能观察到信号的细节部分，因此小波变换有“数学显微镜”之称…。在实际应用中，使用较多的是二进小波变换，它的计算通常是采用 Ma l l a t算法。 Ma l l a t算法采用的是二分树结构、 通过多采样率滤波器组来实现的。Ma l l a t从函数的多分辨率空间分解概念出发，在小波变换和多分辨率分 析之间建立起联系。

得到二尺度差分方程】:

∑ ( ),

( 1 )

叫 式中：‰、

∑ ( f - k ),

( 2 )

是线性组合的权重。 与无关，

二尺度差分方程存在于任意两相邻分辨级 .,一1和 之间，并且差分方程中的权重‰、 不论对哪两个相邻级其值都相同。 由 P o i s s o n公式，可以得到正交归一化性质在频域的表现【 3】: 0

( z ) ( z )+Ho (一 z ) Ho (一 Z )=2,

( 3 ) ( 4 ) (

5 )

1二进小波变换与频域空间剖分 二进小波变换可以看作一个频域空间不断划分的过程，把全通的频带宽度 ( 0~刀 )定义为空间，经第 一

H】 ( z )】 ( z )+H】 (一 z ) H1 ( - z )=2, H0 ( z ) 1 ( z )+H0 (一 z ) H1 (一 Z )=0。

显然，式( 3 )的奇次项被抵消掉，只剩下偶次项。

而方程要成立，说明偶次项只有常数项非零。把 0

级分解后被划分为两个子空间：低频的 (频带 0~ )和高频的 (频带~刀。经第二节分解后

( z ) ( z )+ Ho (一 z ) H0 (一 Z )变换到时域为： h o ( n ) h o (一 n )+(一1 ) h o ( n ) (一 1 ) h o (一 n )。 ( 6 )

h o ( n ) h o (一 n )是h o ( n )自身的自相关甬数 r h。,那么

又被划分成低频的 (频带 0~ )和高频的 (频 斗一

根据式( 3 )和( 6 )可以得到： <h o ( n ), ( n+2 k )>= , k∈Z。 ( 7 )

带~ )……理论上，频域空间可以一直划分下去。 设低频空间中有低通的平滑函数 ( f ),它的整数位移集合< ( f一七 );k∈Z>是低频空间的正交归一

同样，由式( 4 )、( 5 )可以得到： < ( n ), ( n+2 k )>= , k∈Z, ( 8 )

基；同样，在高频空间中存在一个带通函数 ( f ),它的整数位移集合< ( f一七 );k∈Z>是高频空间的正交归一基。那么，根据空间二剖分的基本性质，就可以 收稿日期：2 0 0 4 . 0 9 . 0 6

<h o ( n ),^( n+ 2 k )>=0,k∈Z。

( 9 )

说明 ( n )和^( n )本身都具有偶次移位的正交 性； ( n )和 ( n )之间具有偶次移位的正交性。这正

作者简介：熊

波 (1 9 7 5一),男，工程师，博士生.

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